01
Chasles 定理
Chirikjian 和 Kyatkin给出的 Chasles 定理, 由两部分构成。第一部分为: 物体在空间中的任一偏移可以认为由平移和旋转组成,即指定点从初始点到终点的纯平移，以及物体绕指定点使之到达到终点姿态的旋转。第二部分为: 物体在空间中的任一偏移可以表示为绕空间特定直线的旋转和沿该直线的纯平移。该直线称为旋量轴，是Chasles 定理的第二个结论。Chasles 定理的第一部分是显而易见的。在欧几里德空间中物体上的任意一个指定点,可以被从一个给定的初始位置转移到一个给定的终点位置。更物体上的所有点作同样的偏移, 则物体进行了平移,指定点也就从其初始位置移动到其终点位置。物体可绕指定点旋转到任意给定的终点姿态。 Chasles 定理的第二部分依赖于空间偏移的表示,需要进行更为复杂的论证。欧拉的一个预备定理可以更加明确地说明物体的旋转: 物体保持一点固定的任何偏移，等价于物体绕通过该固定点的一个特定轴的旋转。几何上, 在运动物体的三个嵌入点中,若有一点在旋转时是固定点, 则其他两点中的任何一点将有初始位置和终点位置。连接其初始位置和终点位置形成一条直线段,该直线段的中垂面必然通过上述固定点。在一个中垂面上的任意一条直线均可能是含有相应点的初始位置和终点位置的旋转的旋转轴。 两个中垂面的唯一公共线即为包含物体上任意点的初始位置和终点位置的旋转的旋转轴。刚体的刚性条件,决定了物体上包含上述旋转轴直线的所有平面旋转了相同的角度。欧拉定理指出, 对于由 描述的一个刚体的任意旋转, 存在唯一的特征矢量使得
式中, 是一个平行于旋转轴的单位矢量。该表达式说明, 有一个单位特征矢量对应于特征矢量 剩余的两个特征矢量为 ,其中 是复数操作符, 是物体绕旋转轴的旋转角。
结合 Chasles 定理的第一部分欧拉定理，一个通用的空间偏移可以表示为将一个点从初始位置移动到终点位置的平移,以及将物体从初始姿态运动到终点姿态的、绕着通过该点的特定轴的特定旋转。将平移分解为沿轴向和垂直于轴向的分量,则物体上任一点在轴向上具有相同的偏移量, 这是因为旋转不影响轴向分量。向垂直于轴向的平面投影,则偏移的运动几何与该平面的运动相同。正如在平面上有唯一的一个点，使得物体能够绕着该点在两个给定的位置间旋转,在投影平面上也具有唯一的一个这样的点。正如 上述定理所言, 若旋转轴通过该点移动,则绕该轴的旋转形成的空间偏移叠加了一个沿该轴的平移。
旋转所绕的直线称为偏移的旋量轴。线性位移 对旋转角 的比率称为旋量轴的距 。
纯平移的旋量轴不是唯一的。由于平移的旋转角为 , 任何平行于平移方向的直线均可认为是旋量轴,其距为无穷大。
利用平行于旋量轴的单位矢量 和在旋量轴上任意点的位置矢量 ,可Zui方便地表示任意参考坐标系中的旋量轴。附加的距 和旋转角 ,完整地定义了第二个坐标系相对于参考坐标系的位姿。共有 8 个坐标定义一个旋量变换, 其中两个为几余的。
的模是一个辅助关系，但通常没有第二个辅助关系。这是由于同一个旋量轴是由在其上面的所有点定义的,或者说矢量 仅含有一个自由坐标。
代数上, 旋量偏移表示为
比较该式与式 , 有
其中, 是 的单位矩阵。方程的两边与 进行内积, 容易得到 的表达式。
矩阵 是奇异的,故由式 不能求解出 的唯一值。但由于 可表示旋量轴上的任意点,情况并非如此。 的一个元素可以任意选择, 而 且利用分量方程中的任意两个方程,可以求解得到 的两个元素。在旋量轴上的所有其他点可以由 确定，其中 取任意值。
表 1.4 给出了旋量变换与齐次变换之间的转换关系。旋量变换的等价旋转矩阵, 与表 1.1中姿态的角-轴表示的等价旋转矩阵相同。在表1.4 中,利用矢量 与旋量轴正交 这一辅助关系, 以提供齐次变换到旋量变换的唯一转换。其逆变换,即给定旋量偏移求取旋转矩阵 和 平移 , 采用 Rodrigues方程求取。
表旋量变换与齐次变换之间的转换缩写旋量变换到齐次变换:
|
齐次变换到旋量变换:
|
物体上任一点在旋量偏移下的初始和终点位置如图1.1所示。
图 1.1 物体上任一点在旋量偏移下的初始和终点位置
图1.1 中, 是该点相对于运动坐标系 的位置,在初始位置时，运动坐标系与固定参考坐标系 致; 是运动物体进行旋量偏移后该点相对于固定坐标系 的位置
02
Rodrigues 方程
给定一个旋量轴、物体绕该轴的角偏移和物体沿该轴的平移, 则物体上任一点的偏移可以求解。若将一个矩阵变换看做是物体偏移的描述,则求解旋量偏移等价于求解与给定旋量偏移等价的矩阵变换。
参见图 1.1, 一个点在旋量偏移前后的位置矢量具有以下几何联系 式中, 和 分别表示该点的初始和终点位置, 和 表示旋量轴, 和 给出了其偏移量。该结果称为 Rodrigues方程, 可重写为矩阵变换形式
展开后, 得到含有 和 的元素的三个线性方程:
式中, 缩写 。该形式下的旋转矩阵 又称为旋量矩阵,这些方程给出的 和 的元素称为旋量参数。
纯平移是一种特殊情况, 此时 , Rodrigues 方程变为
这种情况下, 。
